Si la moneda aterriza de cabeza entonces usted gana un rublo y el juego continúa. La moneda se lanza de nuevo. Si es cruz, entonces el juego termina. Si se trata de cabezas, entonces usted gana dos rublos adicionales. El juego continúa de esta manera. Por cada cabeza sucesiva duplicamos nuestras ganancias de la ronda anterior, pero al signo de la primera cola, el juego está hecho.
¿Cuánto pagarías por jugar este juego?
¿Cuánto pagarías por jugar este juego? Cuando consideramos el valor esperado de este juego, usted debe saltar a la oportunidad, no importa cuál sea el costo de jugar. Sin embargo, de la descripción anterior, probablemente no estaría dispuesto a pagar mucho. Después de todo, hay un 50% de probabilidad de no ganar nada. Esto es lo que se conoce como la Paradoja de San Petersburgo, llamada así por la publicación en 1738 de los Comentarios de Daniel Bernoulli de la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo.Algunas probabilidades
Comencemos por calcular las probabilidades asociadas con este juego. La probabilidad de que una moneda justa caiga de cabeza es de 1/2. Cada sorteo de monedas es un evento independiente, por lo que multiplicamos las probabilidades posiblemente con el uso de un diagrama de árbol.- La probabilidad de dos cabezales seguidos es (1/2)) x (1/2) = 1/4.
- La probabilidad de tres cabezas seguidas es (1/2) x (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
- Para expresar la probabilidad de n cabezas en una fila, donde n es un número entero positivo, usamos exponentes para escribir 1/2n.
Algunos pagos
Ahora sigamos adelante y veamos si podemos generalizar cuáles serían las ganancias en cada ronda.- Si tienes cabeza en la primera ronda ganas un rublo para esa ronda.
- Si hay una cabeza en la segunda ronda usted gana dos rublos en esa ronda.
- Si hay una cabeza en la tercera ronda, entonces usted gana cuatro rublos en esa ronda.
- Si usted ha tenido la suerte de llegar hasta la ronda n, entonces ganará 2n-1 rublos en esa ronda.
Valor esperado del juego
El valor esperado de un juego nos dice cuál sería el promedio de ganancias si usted jugara el juego muchas, muchas veces. Para calcular el valor esperado, multiplicamos el valor de las ganancias de cada ronda con la probabilidad de llegar a esta ronda, y luego sumamos todos estos productos.- Desde la primera ronda, usted tiene probabilidad 1/2 y ganancias de 1 rublo: 1/2 x 1 = 1/2
- A partir de la segunda ronda, usted tiene 1/4 de probabilidad y ganancias de 2 rublos: 1/4 x 2 = 1/2
- A partir de la primera ronda, usted tiene una probabilidad de 1/8 y ganancias de 4 rublos: 1/8 x 4 = 1/2
- A partir de la primera ronda, usted tiene una probabilidad de 1/16 y ganancias de 8 rublos: 1/16 x 8 = 1/2
- Desde la primera ronda, usted tiene probabilidad 1/2n y ganancias de 2n-1 rublos: 1/2n x 2n-1 = 1/2
La paradoja
Entonces, ¿cuánto debes pagar para jugar? Un rublo, mil rublos o incluso mil millones de rublos serían, a la larga, menos que el valor esperado. A pesar de que el cálculo anterior prometía riquezas incalculables, todos seguiríamos siendo reacios a pagar mucho por jugar.Hay muchas maneras de resolver esta paradoja. Una de las formas más sencillas es que nadie ofrecería un juego como el descrito anteriormente. Nadie tiene los recursos infinitos que se necesitarían para pagarle a alguien que continúa dándole vueltas a la cabeza.
Juego de San Petersburgo
Otra manera de resolver la paradoja consiste en señalar lo improbable que es conseguir algo así como 20 cabezas seguidas. Las probabilidades de que esto suceda son mejores que las de ganar la mayoría de las loterías estatales. La gente rutinariamente juega tales loterías por cinco dólares o menos. Así que el precio para jugar el juego de San Petersburgo probablemente no debe exceder unos pocos dólares.Si el hombre de San Petersburgo dice que le costará más que unos rublos jugar su juego, usted debería negarse cortésmente y marcharse. Los rublos no valen mucho de todos modos.
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